2020-06-05

球面座標系への変換

重積分

３次元空間の直交座標系の球面座標系へ変換する。

直交座標系の点 $P(x,y,z)$ について原点からの距離を $r$ とすると $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ である。 $\theta$ を $z$ 軸と直線 $OP$ のなす角度、 $\phi$ を直線 $OP$ の $xy$ 平面への正射影が $x$ 軸となす角度とすると下式が成り立つ。

\begin{equation*} x=r\sin \theta \cos \phi, y=r\sin \theta \sin \phi, z=r\cos \theta, (r\geq 0, 0\leq \theta \leq \pi, 0\leq \phi <2\pi) \end{equation*}

ヤコビアン $J$ は下式のようになる。 \begin{align*} J&=\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)}\right|\\&= \det \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta\cos \phi&r\cos\theta \cos \phi&-r\sin\theta\sin\phi\\ \sin \theta\sin \phi&r\cos\theta \sin \phi&-r\sin\theta\cos\phi\\ \cos \theta&-r\sin\theta&0 \end{array} \right)\\ &=r^2\sin\theta \end{align*}

以上より微小体積について下式が成り立つ。

\begin{equation*} dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi \end{equation*}

2020-06-01

曲面積を求める公式

曲面 $z=f(x,y)$ の領域 $D$ における面積を求める。 $xy$ 平面における微小領域 $[x, x+dx]$ $[y, y+dy$ ]に対応する曲面の面積は点 $(x,y,f(x,y))$ における曲面 $z=f(x,y)$ の接平面上で対応する平行四辺形の面積に近似できる。この平行四辺形の２辺と対応するベクトルは偏微分を利用すると、

\begin{equation*} \overrightarrow{a}=(dx,0,f_x(x,y)dx), \overrightarrow{b}=(0,dy,f_y(x,y)dy) \end{equation*}

となる。従ってその面積 $dS$ は

\begin{equation*} dS=|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \end{equation*}

と表すことができるので成分を代入すると

\begin{align*} dS&=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta\\ &=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2 \theta}\\ &=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)^2}\\ &=\sqrt{\{(dx)^2+(f_x(x,y)dx)^2\}\{(dy)^2+(f_y(x,y)dy)^2\}-(f_x(x,y)f_y(x,y)dxdy)^2}\\ &=\sqrt{(dxdy)^2+f_x(x,y)^2(dxdy)^2+f_y(x,y)^2(dxdy)^2}\\ &=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy \end{align*}

よって曲面積は

\begin{align*} dS&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy\end{align*}

上式の両辺を積分すると曲面積の公式が求まる。

\begin{align*}S=\int_D dS=\int_D \sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy \end{align*}

2020-06-01

三重積分の意味

重積分

３重積分は何を求めているのでしょうか。

２重積分は曲面 $z=f(x,y)$ と $xy$ 平面つまり $z=0$ で囲まれた立体の体積です。

\begin{align*} &\iint_{D}f(x,y)dxdy =\iint_{D}(f(x,y)-0)dxdy \end{align*}

それに対して３重積分

\begin{equation*} \iiint_Vdxdydz \end{equation*}

は積分領域 $V$ の立体の体積を表しています。

さらに３重積分

\begin{equation*} \iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz \end{equation*}

について、 $f(x,y,z)$ を密度が一様でない立体 $V$ の点 $(x,y,z)$ における密度を表しているとすると３重積分は積分領域全体の質量を求めていることになります。

2020-05-31

球の体積

重積分

球体 $x^2+y^2+z^2=1$ の体積を求める。

球を８等分すると底面は $z=0$ として\begin{equation*} D=\{(x,y)|x^2+y^2+z^2\leq 1, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0\} \end{equation*} ここで３次元の極座標に変換する。\begin{equation*} x=r\sin \theta \cos \phi,~~~y=r\sin \theta \sin \phi,~~~z=r\cos \theta \end{equation*} を利用すると、積分領域 $D$ と等価な領域 $E$ は \begin{equation*} E=\left\{(r, \theta, \phi)|0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}, 0\leq \phi \leq \dfrac{\pi}{2}\right\} \end{equation*} さらにヤコビアンは $r^2\sin\theta$ なので\begin{equation*} dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi \end{equation*} 以上より求める体積は\begin{align*} V&=\iiint_D dxdydz\\&=8\iiint_E r^2\sin \theta drd\theta d\phi\\ &=8\int_{0}^{1}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}r^2\sin \theta drd\theta d\phi\\ &=8\int_{0}^{1}r^2dr\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin \theta d\theta \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}d\phi\\ &=8\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ &=\dfrac{4}{3}\pi \end{align*}