球体
の体積を求める。
球を８等分すると底面は
として\begin{equation*} D=\{(x,y)|x^2+y^2+z^2\leq 1, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0\} \end{equation*} ここで３次元の極座標に変換する。\begin{equation*} x=r\sin \theta \cos \phi,~~~y=r\sin \theta \sin \phi,~~~z=r\cos \theta \end{equation*} を利用すると、積分領域
と等価な領域
は \begin{equation*} E=\left\{(r, \theta, \phi)|0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}, 0\leq \phi \leq \dfrac{\pi}{2}\right\} \end{equation*} さらにヤコビアンは
なので\begin{equation*} dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi \end{equation*} 以上より求める体積は\begin{align*} V&=\iiint_D dxdydz\\&=8\iiint_E r^2\sin \theta drd\theta d\phi\\ &=8\int_{0}^{1}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}r^2\sin \theta drd\theta d\phi\\ &=8\int_{0}^{1}r^2dr\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin \theta d\theta \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}d\phi\\ &=8\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ &=\dfrac{4}{3}\pi \end{align*}
