理工系編入学試験対策ブログ

大学数学・大学物理・専門科目について

球面座標系への変換

3次元空間の直交座標系の球面座標系へ変換する。

直交座標系の点P(x,y,z)について原点からの距離をrとするとr=\sqrt{x^2+y^2+z^2}である。\thetaz軸と直線OPのなす角度、\phiを直線OPxy平面への正射影がx軸となす角度とすると下式が成り立つ。

\begin{equation*} x=r\sin \theta \cos \phi, y=r\sin \theta \sin \phi, z=r\cos \theta, (r\geq 0, 0\leq \theta \leq \pi, 0\leq \phi <2\pi) \end{equation*}

ヤコビアンJは下式のようになる。 \begin{align*} J&=\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)}\right|\\&= \det \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta\cos \phi&r\cos\theta \cos \phi&-r\sin\theta\sin\phi\\ \sin \theta\sin \phi&r\cos\theta \sin \phi&-r\sin\theta\cos\phi\\ \cos \theta&-r\sin\theta&0 \end{array} \right)\\ &=r^2\sin\theta \end{align*}

以上より微小体積について下式が成り立つ。

\begin{equation*} dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi \end{equation*}