曲面積を求める公式
曲面の領域における面積を求める。平面における微小領域]に対応する曲面の面積は点における曲面の接平面上で対応する平行四辺形の面積に近似できる。この平行四辺形の2辺と対応するベクトルは偏微分を利用すると、
\begin{equation*} \overrightarrow{a}=(dx,0,f_x(x,y)dx), \overrightarrow{b}=(0,dy,f_y(x,y)dy) \end{equation*}
となる。従ってその面積は
\begin{equation*} dS=|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \end{equation*}
と表すことができるので成分を代入すると
\begin{align*} dS&=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta\\ &=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2 \theta}\\ &=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)^2}\\ &=\sqrt{\{(dx)^2+(f_x(x,y)dx)^2\}\{(dy)^2+(f_y(x,y)dy)^2\}-(f_x(x,y)f_y(x,y)dxdy)^2}\\ &=\sqrt{(dxdy)^2+f_x(x,y)^2(dxdy)^2+f_y(x,y)^2(dxdy)^2}\\ &=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy \end{align*}
よって曲面積は
\begin{align*} dS&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy\end{align*}
上式の両辺を積分すると曲面積の公式が求まる。
\begin{align*}S=\int_D dS=\int_D \sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy \end{align*}