理工系編入学試験対策ブログ

大学数学・大学物理・専門科目について

曲面積を求める公式

曲面z=f(x,y)の領域Dにおける面積を求める。xy平面における微小領域[x, x+dx][y, y+dy]に対応する曲面の面積は点(x,y,f(x,y))における曲面z=f(x,y)接平面上で対応する平行四辺形の面積に近似できる。この平行四辺形の2辺と対応するベクトルは偏微分を利用すると、

\begin{equation*} \overrightarrow{a}=(dx,0,f_x(x,y)dx), \overrightarrow{b}=(0,dy,f_y(x,y)dy) \end{equation*}

となる。従ってその面積dS

\begin{equation*} dS=|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \end{equation*}

と表すことができるので成分を代入すると

\begin{align*} dS&=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta\\ &=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2 \theta}\\ &=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)^2}\\ &=\sqrt{\{(dx)^2+(f_x(x,y)dx)^2\}\{(dy)^2+(f_y(x,y)dy)^2\}-(f_x(x,y)f_y(x,y)dxdy)^2}\\ &=\sqrt{(dxdy)^2+f_x(x,y)^2(dxdy)^2+f_y(x,y)^2(dxdy)^2}\\ &=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy \end{align*}

よって曲面積は

\begin{align*} dS&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy\end{align*}

上式の両辺を積分すると曲面積の公式が求まる。

\begin{align*}S=\int_D dS=\int_D \sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}dxdy \end{align*}